Exercicios propostos tema 6

Códigos de R para integrar e derivar.

Usando o paquete mosaicCalc:

library(mosaicCalc)

# Derivar 3+2*x-5*x^2:
D((3+2*x-5*x^2)~x)

# integrar 3+2*x-5*x^2:
antiD((3+2*x-5*x^2)~x)

# integral definida de 3+2*x-5*x^2 entre -2 e 3
antiD((3+2*x-5*x^2)~x)(3)-antiD((3+2*x-5*x^2)~x)(-2)

# alternativas para integrais definidas

# integral definida de 3+2*x-5*x^2 entre -2 e 3
Integrate((3+2*x-5*x^2)~x,domain(x=-2:3)) # NON FUNCIONA, ainda

#usando R basico
funcion=function(x){4*x^2} # crear función
integrate(funcion,0,2)

Exercicio 1

Nun exame de Estatística as notas obtidas polos estudantes seguen a seguinte función de contía:

Nota	2	3	4	5	6	7	8	9
Proporción de exames	0,1	0,16	0,2	0,26	0,14	0,06	0,06	0,02

a) Constrúe a súa función de distribución.

b) Cal é a probabilidade de aprobar?

c) Calcula os valores da esperanza e da moda desa variable.

d) Calcula o valor da varianza, da desviación típica e do coeficiente de variación de Pearson desa variable.

Exercicio 2

O número de saídas por hora que realizan as ambulancias nunha certa cidade segue unha variable aleatoria coa seguinte función de distribución:

\[F{{(x)} = \left\{ \begin{matrix} 0 & & {x < 0} \\ 0.25 & & {{0 \leqslant x} < 1} \\ 0.6 & & {{1 \leqslant x} < 2} \\ 0.8 & & {{2 \leqslant x} < 3} \\ 0.9 & & {{3 \leqslant x} < 4} \\ 1 & & {4 \leqslant x} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Constrúe a súa función de contía

b) Se 3 ou máis saídas por hora considéranse horas de estrés, cal é a probabilidade de que unha hora calquera sexa “hora de estrés”?

c) Cal é a probabilidade de que o número de saídas nunha hora sexa maior de 1 pero menor ou igual a 3? Fai o cálculo de 2 formas, empregando primeiro a función de distribución e logo a de contía

d) Calcula os valores da esperanza e da moda do número de saídas por hora

e) Calcula o valor da varianza, da desviación típica e do coeficiente de variación de Pearson do número de saídas por hora.

Exercicio 3

O número de fillxs das familias dunha localidade é unha variable con función de distribución:

\[F{(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & {x < 0} \\ 0.3 & {0 \leq x < 1} \\ 0.7 & {1 \leq x < 2} \\ 0.9 & {2 \leq x < 3} \\ 1 & {3 \leq x} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Constrúe a súa función de contía

b) Cal é a probabilidade de que teñan 2 ou máis fillxs.

c) Cal é a media de fillxs por familia?.

d) Cal é o número de fillxs modal.

Exercicio 4

Se lanzamos unha moeda ao aire, e temos en conta a variable $\xi$ =“número de caras obtidas”,

a) Constrúe a súa función de distribución

b) Constrúe a súa función de contía e calcula a súa esperanza e a súa desviación típica

Exercicio 5

Unha variable aleatoria $\xi$ ten a seguinte función de contía: \[f{(x) = \left\{ \begin{matrix} 0,1 & {\text{se }{x = 0}} \\ 0.25 & {\text{se }{x = {- 1}}\text{ ou }{x = 1}} \\ 0.2 & {\text{se }{x = {- 2}}\text{ ou }{x = 2}} \\ 0 & \text{no\ resto} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Calcula a súa función de distribución

b) Calcula a probabilidade de que a variable tome valores negativos

c) Calcula $P(-2< \xi\leq1)$ e $P(-2\leq\xi<1)$

d) Calcula a súa esperanza.

Exercicio 6

Os datos de consumo de auga, en m³, dos clientes dunha empresa indican que segue unha variable aleatoria $\xi$ e coa seguinte función de distribución: \[F{(x) = \left\{ \begin{matrix} 0 & {x < 10} \\ 0.05 & {{10 \leq x} < 20} \\ 0.45 & {{20 \leq x} < 30} \\ 0.70 & {{30 \leq x} < 40} \\ 0.85 & {{40 \leq x} < 50} \\ 0.95 & {{50 \leq x} < 60} \\ 1 & {60 \leq x} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Calcula a función de contía

b) Calcula as probabilidades de que un cliente escollido ao chou consuma máis de 40 m³ de auga, ou que consuma entre 25 e 55 m³ .

c) Temos un novo cliente, se non hai ningún dato máis sobre el, cal sería o seu consumo de auga. esperado

d) Calcula a moda.

Exercicio 7

Nun exame de Análise Infinitesimal as notas obtidas polos estudantes seguen a seguinte función de densidade:

\[f{{(x)} = \left\{ \begin{matrix} {\frac{10-x}{50} } & & {0 \leqslant x \leqslant 10} \\ 0 & & \text{no resto} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Cal é a súa función de distribución?

b) Cal é a probabilidade de aprobar?

c) Cal é a probabilidade de que un estudante calquera saque unha nota maior ca 3 pero menor ou igual a 5?. Fai o cálculo de 2 formas, empregando a función de densidade, e empregando a función de distribución.

d) Calcula os valores da esperanza e da varianza,.

Exercicio 8

Nunha certa cidade, o tempo entre que se recibe unha chamada en urxencias e sae unha ambulancia para resolvela, segue unha variable aleatoria coa seguinte función de distribución:

\[F{{(x)} = \left\{ \begin{matrix} 0 & & {x < 0} \\ {\frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{16}} & & {0 \leqslant x \leqslant 4} \\ 1 & & {4 < x} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Constrúe a súa función de densidade

b) Se as horas con 3 ou máis saídas considéranse horas de estrés, cal é a probabilidade de que unha hora calquera sexa “hora de estrés”?

c) Cal é a probabilidade de que o número de saídas nunha hora sexa maior de 1 pero menor ou igual a 3? Fai o cálculo de 2 formas, empregando primeiro a función de distribución e logo a de densidade

d) Calcúla número medio de saídas por hora e a súa varianza

Exercicio 9

Sexa $\xi$ unha variable aleatoria que indica o tempo que un técnico tarda en chegar a unha casa para reparar unha avaría, en horas. A función de densidade asociada é:

\[f{{(x)} = \left\{ \begin{matrix} {2\cdot x} & {{0 < x} < 1} \\ 0 & {\mathit{no}\mathit{resto}} \\ \end{matrix} \right.}\]

a) Cal é o tempo medio que o técnico tarda en chegar.

Os técnicos de outra compañía tardan unha media de ¾ de hora, cunha varianza de 3/80. se as dúas compañías din que van chegar a casa no tempo medio, ¿en cal delas é máis representativa esa indicación?

Exercicio 10

O número de coches (en miles de vehículos), que pasan cada día por unha peaxe de autoestrada segue unha variable $\xi$. Coa seguinte función de densidade:

\[f{{(x)} = \begin{Bmatrix} {x + 0.5} & {{0 \leq x} \leq 1} \\ 0 & {\mathit{no}\mathit{resto}} \\ \end{Bmatrix}}\]

a) Constrúe a función de distribución desa variable

b) Cal é a probabilidade de que pasen máis de 500 vehículos?

c) Cal é o número medio de vehículos que pasa cada día?

d) Se a tarifa que se paga é de 3 euros. Cal será o ingreso esperado durante 1 día de tráfico.

Exercicio 11

A renda media para un grupo de observacións mostrais é $500; a súa desviación típica é $40. Cal é a proporción mínima de rendas que estarán entre $400 e $600?

Exercicio 12

O tempo medio para os 400 metros femininos é 57,07 segundos, cunha desviación típica de 1,05. Aplica o teorema de Chebychev aos datos, usando t=2. Interpreta os resultados.

Exercicio 13

O número de coches (en miles de vehículos), que pasan cada día por dúas peaxes dunha autoestrada seguen dúas variables $\xi$ e $\eta$ . Coas seguintes funcións de densidade:

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} x + 0,5 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \mathit{no\ resto} \\ \end{matrix}\right .\] \[f(y) = \left\{\begin{matrix} 6\cdot y + 0,5 & 0 \leq y \leq 0,5 \\ 0 & \mathit{no\ }\mathit{resto} \\ \end{matrix}\right .\]

a) Por cal das dúas peaxes pasan máis coches en media?

b) En cal das dúas peaxes o número de coches que pasa é máis estable?

c) Se a tarifa é de 3 euros na primeira peaxe, e 2 euros na segunda, en media, cal sería o ingreso diario conxunto das dúas peaxes?

Exercicio 14

“Fundamentos de Estadística. Aplicación a las Ciencias Humanas” Cuadras y otros Editorial PPU, 1991, pág. 175.

Sean las v.a. discretas X e Y con función de probabilidad dada por la siguiente tabla:

Y X	y₁ = 0,4	y₂ = 0,8
x₁ = 2	0,15	0,05
x₂ = 5	0,30	0,12
x₃ = 8	0,35	0,03

Hallar:

a) Las funciones de cuantía marginales.

La función de cuantía condicionada de la componente X, si la componente Y = y₁ = 0,4.

¿Son las variables X e Y independientes?.

La función de distribución condicionada de X, si Y = y₁ = 0,4.

Exercicio 15

Dentro dun certo sector no que se fan un certo tipo de proxectos, estímase que o que cada “consulting” cobra por facelo e o número deles que realizan repártese nas seguintes porcentaxes:

		$\eta$: nº proxectos
$\xi$: prezo por proxecto	1	2	3
1.000,00 €	10%	40%	25%
2.000,00 €	15%	10%	0%

a) Constrúe a función de contía para a variable: $\gamma= \xi\cdot\eta$ (ingresos polos proxectos)

b) Cal é o ingreso modal?

c) Cal é o prezo medio por proxecto?

Exercicios de Exame

Exercicio 16

Unha variable aleatoria X ten a seguinte función de densidade:$f(x) = \left\{\begin{matrix} x & \text{se }\ 0 < x \sqrt{2} \\ 0 & \mathit{no\ resto} \\ \end{matrix}\right .$.

a) Cal é a probabilidade de que tome valores entre 0,2 e 0,4

b) Calcula $E[X^2]$

c) Pensas que a esperanza desa variable é representativa dos seus valores

d) Nesa variable que será maior $P(X=0,5)$ ou $P(X=2)$?

Exercicio 17

Unha variable aleatoria X ten a seguinte función de densidade: $f(x) = \left\{\begin{matrix} 4\cdot x & \text{se }\ 0 < x < 0,5 \\ 0 & \mathit{no\ resto} \\ \end{matrix}\right .$ .

a) Cal é a probabilidade de que tome valores maiores ca 0,4

b) Supoñamos que Y=X²; Calcula a esperanza de Y?

Exercicio 18

Unha variable aleatoria bidimensional ($\xi$,$\eta$) ten asociada a seguinte función de contía marxinal:\[f(x) = \left\{\begin{matrix} 0,4 & \text{se }\ x=-1 \\ 0,1 & \text{se }\ x=0 \\ 0,5 & \text{se }\ x=1 \\ 0 & \mathit{no\ resto} \\ \end{matrix}\right .\]

a) Calcula a esperanza de $\xi^3$

Exercicio 19

Sexan X, Y e Z variables aleatorias que cumpren:

\[{E(X{) = 3}\mspace{9mu};\mspace{9mu} E(Y{) = 4}\mspace{9mu};\mspace{9mu} E(Z{) = 7}\mspace{9mu};\mspace{9mu}\mathit{\text{Var}}(X{) = 4}\mspace{9mu};\mspace{9mu}\mathit{\text{Var}}(Y{) = 9};\mspace{9mu}\mathit{\text{Var}}(Z{) = 10}}{}\]

a) Sexa $U=5X+15$. Se as tres variables son independentes, calcula a varianza de U

b) Calculade E(X²).

Exercicio 20

Unha variable aleatoria X ten a seguinte función de densidade: $f(x) = \left\{\begin{matrix} 4\cdot x & \text{se }\ 0 < x < 0,5 \\ 0 & \mathit{no\ resto} \\ \end{matrix}\right .$.

a.- Cal é a probabilidade de que tome valores entre 0,2 e 0,4

b.-. Supoñamos que Y=X²; sabemos ademais que $E[X]=\frac{1}{6}$ e $E[Y]=\frac{1}{16}$;

Canto valerá a esperanza de X+Y?

Exercicio 21

Sexan X e Y variables aleatorias, verificando ${E(X{) = 3}\mspace{9mu};\mspace{9mu} E(Y{) = 4}\mspace{9mu}\mspace{9mu};\mspace{9mu}\mathit{\text{Var}}(X{) = 4}\mspace{9mu};\mspace{9mu}\mathit{\text{Var}}(Y{) = 9}}{}$

a) Sexa ${\mathit{\text{U=}}{\text{5X} - \text{4Y} + \text{15}}}{}$, calculade a esperanza de U.

b) Podemos afirmar que $E[X\cdot Y]=3·4=12$?. Razóao

Exercicio 22

Sexa $U=5X-4Y+15$, calculade a varianza de U

Exercicio 23

O número de coches reparados anualmente (X, en miles) nun taller de reparación coruñés, é unha variable aleatoria con función de distribución \[F(x{) = \left\{ \begin{matrix} 0 & {x \leq 0} \\ \mathit{k\cdot x}^{2} & {0 < x < 3} \\ 1 & {3 \leq x} \\ \end{matrix} \right.}\]

Calcular:

a) o valor de k

b) sabendo que o pasado ano se repararon polo menos 2000 coches, cal é a probabilidade de que se reparasen menos de 2800?

Exercicio 24

Calcula a P(X<0,5; Y<0,8) e P(X<-2; Y<0,8) coa seguinte función de distribución:

\[F(x,y{) = \left\{ \begin{matrix} 0 & {\text{se }{x < {- 1}}\text{ ou }{y < 0}} \\ 0.15 & {{{\text{se } - 1} \leq x < 0}\text{ e }{y \geq 0}} \\ 0.5 & {\text{se }{0 \leq x < 1}\text{ e }{0 \leq y < 1}} \\ 0.75 & {\text{se }{0 \leq x < 1}\text{ e }{1 \leq y}} \\ 0.75 & {\text{se }{1 \leq x}\text{ e }{0 \leq y < 1}} \\ 1 & {\text{se }{1 \leq x}\text{ e }{1 \leq y}} \\ \end{matrix} \right.}\]

b) Unha variable aleatoria X ten a seguinte función de densidade: \[f(x{) = \left\{ \begin{matrix} {2\cdot x} & \text{se\ 0<x<1} \\ 0 & \text{no\ resto} \\ \end{matrix} \right.}\].

Se a variable Y = X²+1, calcular E[Y]

		\(\eta\): nº proxectos
\(\xi\): prezo por proxecto	1	2	3
1.000,00 €	10%	40%	25%
2.000,00 €	15%	10%	0%